Pfeiffer Vacuum

2.2 Berechnungen

2.2.1 Dimensionierung eines Wälzkolbenpumpstands

Zur Dimensionierung eines Walzkolbenpumpstandes müssen wir zunächst einige Vorbetrachtungen anstellen.

Kompressionsverhältnis

Das Kompressionsverhältnis $K_0$ einer Wälzkolbenpumpe liegt typischerweise zwischen 5 und 70. Zu seiner Ermittlung betrachten wir die geförderte Gasmenge und die Rückströmung über den Leitwert $C_R$ sowie die Rückförderung von Gas aus dem Auslassraum mit dem Saugvermögen $S_R$:

\[p_a \cdot S = p_a \cdot S_0 - C_R\left(p_v-p_a\right)-S_R \cdot p_v\]

Formel 2-1: Gaslast Wälzkolbenpumpe

$S$ Saugvermögen
$S_0$ Theoretisches Saugvermögen der Ansaugseite
$S_R$ Saugvermögen der Rückförderung
$C_R$ Leitwert
$p_a$ Ansaugdruck
$p_v$ Vorvakuumdruck

Setzten wir $S$ gleich 0, erhalten wir das Kompressionsverhältnis

\[\frac{p_a}{p_v} =K_0= \frac{S_0+C_R}{C_R+S_R}\]

Formel 2-2: Kompressionsverhältnis Wälzkolbenpumpe

$K_0$ Kompressionsverhältnis

Im laminaren Strömungsfall ist der Leitwert wesentlich größer als das Saugvermögen der Rückströmung. Damit vereinfacht sich Formel 2-2 zu

\[K_0= \frac{S_0}{C_R}\]

Formel 2-3: Kompressionsverhältnis Wälzkolbenpumpe laminar

Im molekularen Strömungsbereich ist das einlassseitige Saugvermögen immer noch am größten, jetzt ist aber das Saugvermögen der Rückströmung wesentlich größer als der Leitwert. Damit wird das Kompressionsverhältnis zu:

\[K_0= \frac{S_0}{S_R}\]

Formel 2-4: Kompressionsverhältnis Wälzkolbenpumpe molekular

Bei Laminarströmung (hoher Druck) begrenzt die Rückströmung durch die Spalte zwischen Kolben und Gehäuse das Kompressionsverhältnis. Da der Leitwert dem mittleren Druck proportional ist, sinkt das Kompressionsverhältnis mit steigendem Druck.

Im molekularen Strömungsbereich überwiegt die Rückförderung $S_R \cdot p_v$ von Gas von der Auslassseite und begrenzt das Kompressionsverhältnis zu niedrigem Druck hin. Bedingt durch diesen Effekt ist die Anwendung von Wälzkolbenpumpen auf Drücke $p_a$ > 10-4 hPa begrenzt.

Saugvermögen

Wälzkolbenpumpen sind mit Überstromventilen ausgerüstet, die maximale Druckdifferenzen $\Delta p_d$ an den Pumpen zwischen 30 und 60 hPa zulassen. Kombiniert man eine Wälzkolbenpumpe mit einer Vorvakuumpumpe, muss man die Druckbereiche mit geöffnetem ($S_1$) und geschlossenem Überstromventil ($S_2$) unterscheiden.

Da der Gasdurchsatz in beiden Pumpen (Wälzkolbenpumpe und Vorvakuumpumpe) gleich ist, gilt:

\[S_1=\frac{S_V \cdot p_v}{p_v \cdot \Delta p_d}\]

Formel 2-5: Saugvermögen Wälzkolbenpumpstand bei geöffnetem Überströmventil und hohem Vorvakuumdruck

$S_1$ Saugvermögen bei geöffnetem Überströmventil
$S_V$ Saugvermögen der Vorvakuumpumpe
$p_v$ Vorvakuumdruck
$\Delta p_d$ maximale Druckdifferenz zwischen Druck- und Saugseite der Rootspumpe

Solange die Druckdifferenz deutlich kleiner als der Vorvakuumdruck ist, ist das Saugvermögen des Pumpstandes nur wenig größer als das der Vorpumpe. Nähert sich der Vorvakuumdruck der Druckdifferenz an, so schließt das Überstromventil und es gilt

\[S_1=\frac{S_0}{1-\frac{1}{K_0}+\frac{S_0}{K_0 \cdot S_V}}\]

Formel 2-6: Saugvermögen Wälzkolbenpumpstand bei geöffnetem Überströmventil und hohem Vorvakuumdruck

Betrachten wir noch den Sonderfall, dass eine Wälzkolbenpumpe gegen konstanten Druck arbeitet (z. B. Kondensatorbetrieb). Im Bereich hoher Drücke gilt Formel 2-3. Einsetzen des Wertes $C_R$ in Formel 1 und Vernachlässigung der Rückströmung $S_R$ gegen den Leitwert $C_R$ liefert:

\[S=S_0 \cdot \left[1-\frac{1}{K_0}\left(\frac{p_v}{p_a}-1 \right) \right] \]

Formel 2-7: Saugvermögen Wälzkolbenpumpstand bei hohem Ansaugdruck

Bei niedrigen Drücken setzt man $S_R$ aus Formel 2-4 ein und erhält

\[S=S_0 \cdot \left(1-\frac{p_v}{K_0 \cdot p_a} \right) \]

Formel 2-8: Saugvermögen Wälzkolbenpumpstand bei niedrigem Ansaugdruck

Aus Formel 2-6 erkennt man, dass $S$ gegen $S_0$ geht, falls das Kompressionsverhältnis $K_0$ wesentlich größer ist als das Verhältnis des theoretischen Saugvermögen der Wälzkolbenpumpe $S_0$ und des Vorvakuumsaugvermögens $S_V$.

Setzen wir beispielsweise das Kompressionsverhältnis gleich 40 und das Saugvermögen der Wälzkolbenpumpe 10-mal so groß an wie das der Vorpumpe, so erhalten wir $S$ = 0,816 $\cdot S_0$

Für die Abstufung in einem Pumpstand sollte deshalb das theoretische Saugvermögen der Wälzkolbenpumpe maximal zehnmal so groß wie das Saugvermögen der Vorpumpe gewählt werden.

Da die Überströmventile auf Druckdifferenzen um 50 hPa eingestellt sind, ist bei Drücken über 50 hPa fast nur das Saugvermögen der Vorpumpe wirksam. Sollen große Behälter in einer bestimmten Zeit auf z. B. 100 hPa evakuiert werden, muss eine entsprechend große Vorpumpe ausgewählt werden.

Als Beispiel betrachten wir einen Pumpstand, der einen Behälter mit einem Volumen von 2 m³ in 10 Minuten auf einen Druck von 5 · 10-3 hPa evakuieren soll. Dazu wählen wir eine Vorpumpe, die den Behälter in 5 Minuten auf 50 hPa evakuiert. Bei konstantem Saugvermögen gilt:

\[t_1=\frac{V}{S} \mbox{ln} \frac{p_0}{p_1}\]

Formel 2-9: Auspumpzeit

$t_1$ Abpumpzeit der Vorvakuumpumpe
$V$ Volumen des Behälters
$S$ Saugvermögen der Vorpumpe
$p_0$ Anfangsdruck
$p_1$ Enddruck

Stellen wir Formel 2-9 um, können wir das erforderliche Saugvermögen berechnen:

\[S=\frac{V}{t_1} \mbox{ln} \frac{p_0}{p_1}\]

Formel 2-10: Saugvermögensberechnung

Mit den oben angegebenen Zahlenwerten erhalten wir:

\[S=\frac{2.000 l}{300 s} \mbox{ln} \frac{1.000}{50}=20\frac{l}{s}=72\frac{m^3}{h}\]

Wir wählen als Vorpumpe eine Hepta 100 mit dem Saugvermögen $S_V$ = 100 m³ h-1. Das Saugvermögen der Wälzkolbenpumpe schätzen wir nach der gleichen Formel auf 61 l s-1 = 220 m³ h-1 ab und nehmen eine Okta 500 mit $S_0$ = 490 m³ h-1 und einer Druckdifferenz des Überströmventils von $\Delta p_d$ = 53 hPa für den Feinvakuumbereich.

In der folgenden Tabelle wählen wir die Vorvakuumdrücke laut Spalte $p_v$, entnehmen die zugehörigen Saugvermögenswerte $S_V$fur die Hepta 100 aus deren Saugvermögenskurve und berechnen den Durchsatz: $Q=S_V \cdot p_v$.

Das Kompressionsverhältnis $K_\Delta = \frac{p_v+ \Delta p_d}{p_v}$

ist berechnet für geöffnetes Überstromventil bis zum Vorvakuumdruck von 56 hPa. $K_0$ ist für Vorvakuumdrücke ≤ 153 hPa aus Abbildung 2.1 entnommen. Das Saugvermögen der Wälzkolbenpumpe berechnen wir auf zwei Arten:

$S_1$ erhält man aus Formel 2-5 für offenes, oder $S_2$ nach Formel 2-6 für geschlossenes Überstromventil.

Saugvermögenskurve eines Wälzkolbenpumpstands mit
Hepta 100 und Okta 500

Abbildung 2.2: Saugvermögenskurve eines Wälzkolbenpumpstands mit Hepta 100 und Okta 500

Nähert sich der Vorvakuumdruck der Druckdifferenz $\Delta p_d$, so wird $S_1$ > $S_2$. Richtig ist immer der kleinere von beiden Saugvermögenswerten, den wir mit $S$ bezeichnen wollen. Den Ansaugdruck erhalt man nach der Formel:

$p_a=\frac{Q}{S}$

Abbildung 2.2 zeigt die Saugvermögenskurve dieses Pumpstandes.

Leerlaufkompressionsverhältnis für Luft von Wäkzkolbenpumpen

Abbildung 2.1: Leerlaufkompressionsverhältnis für Luft von Wälzkolbenpumpen

Pa / hPa Pv / hPa Sv / (m3 / h) Q / (hPa · m3/ h) K$\Delta$ K0 S1 / (m3 / h) S2 / (m3 / h) t / h t / s
Auspumpzeit: 344,94 s
1.000,0000 1.053,00 90,00 94.770,00 1,05 94,77 0,00490 17,66
800,0000 853,00 92,00 78.476,00 1,07 98,10 0,00612 22,04
600,0000 653,00 96,00 62.688,00 1,09 104,48 0,00827 29,79
400,0000 453,00 100,00 45.300,00 1,13 113,25 0,01359 48,93
200,0000 253,00 104,00 26.312,00 1,27 131,56 0,00652 23,45
100,0000 153,00 105,00 16.065,00 1,53 7,00 160,65 321,56 0,00394 14,18
50,0000 103,00 105,00 10.815,00 2,06 13,00 216,30 382,20 0,00608 21,87
14,9841 56,00 110,00 6.160,00 18,70 18,00 2.053,33 411,10 0,00822 29,58
2,5595 10,00 115,00 1.150,00 36,00 449,30 0,01064 38,30
0,2300 1,00 105,00 105,00 50,00 456,52 0,00670 24,13
0,0514 0,30 75,00 22,50 46,00 437,39 0,00813 29,27
0,0099 0,10 37,00 3,70 40,00 375,17 0,00673 24,23
0,0033 0,06 15,00 0,90 39,00 270,42 0,00597 21,51
0,0018 0,05 5,00 0,25 37,00 135,29

Tabelle 2.1: Saugvermögen eines Wälzkolbenpumpstands und Auspumpzeit

Auspumpzeiten

Man berechnet die Auspumpzeit des Behälters in einzelnen Schritten. In Bereichen mit starker Änderung des Saugvermögens muss man die Vorvakuumdruckintervalle dicht legen. Zur Ermittlung der Auspumpzeit in einem Intervall benutzt man Formel 2-9 und setzt für $S$ den Mittelwert der beiden Saugvermögen für das berechnete Druckintervall ein. Die gesamte Auspumpzeit ist die Summe aller Zeiten in der letzten Spalte von Tabelle 2.1.

Weitere Einflüsse auf die Auspumpzeit haben die Leckrate der Vakuumanlage, die Leitwerte der Rohrleitungen sowie im Rezipienten vorhandene verdampfende Flüssigkeiten, entgasende poröse Materialien und verschmutzte Wände. Einige dieser Faktoren werden in den Abschnitten 2.2.3.1 und 2.3 behandelt. Falls einige der oben genannten Einflüsse unbekannt sind, muss man entsprechende Reserven im Pumpstand vorsehen.

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