Pfeiffer Vacuum

1.2.2 Allgemeine Gasgleichung

Jeder Stoff besteht aus Atomen oder Molekülen. Die Menge eines Stoffs wird definitionsgemäß in Mol angegeben. Ein Mol eines Stoffs enthält 6,022 ·1023 Teilchen (Avogadro-Konstante. Dies ist keine Zahl, sondern eine physikalische Größe mit der Einheit mol-1). 1 Mol ist dabei definiert als die Stoffmenge eines Systems, das aus genau so vielen Teilchen besteht, wie Atome in exakt 12 g Kohlenstoff des Nuklids 12C enthalten sind.

Bei Normalbedingungen, also einem Druck von 101.325 Pa und einer Temperatur von 273,15 K (entspricht 0 °C), füllt ein Mol eines idealen Gases ein Volumen von 22,414 Litern aus.

Bereits 1664 untersuchte Robert Boyle den Einfluss des Drucks auf eine bestimmte Menge an Luft. Die später von Mariotte experimentell bestätigten Ergebnisse sind im Boyle-Mariotte’schen Gesetz zusammengefasst:

\[p\cdot V=\mbox{const.}\]

Formel 1-4: Boyle-Mariotte’sches Gesetz

In Worten ausgedrückt bedeutet das Boyle-Mariotte’sche Gesetz, dass das Volumen einer bestimmten Gasmenge bei konstanter Temperatur umgekehrt proportional dem Druck ist – das Produkt aus Druck und Volumen ist konstant.

Mehr als hundert Jahre später wurde auch die Temperaturabhängigkeit des Volumens einer Gasmenge erkannt: das Volumen einer bestimmten Gasmenge ist bei konstantem Druck der absoluten Temperatur direkt proportional oder

\[V = \mbox{const.} \cdot T\]

Formel 1-5: Gay-Lussac’sches Gesetz

Führt man bei einer gegebenen Gasmenge nun nacheinander eine Druck- und eine Temperaturänderung durch, erhält man

\[\frac{p\cdot V}T=\mbox{const.}\]

Dies gilt immer noch für eine bestimmte Menge an Gas. Das Gasvolumen ist bei einer bestimmten Temperatur und einem bestimmten Druck proportional der Stoffmenge $\nu$. Daher können wir schreiben:

\[\frac{p\cdot V}T=\nu\cdot\mbox{const.}\]

Die Stoffmenge wird durch Wägung bestimmt. Wir können die Stoffmenge eines Gases durch das Verhältnis der Masse durch die molare Masse ausdrücken. Die Konstante const. bezieht sich damit auf 1 Mol des betreffenden Gases, sie wird als Gaskonstante $R$ bezeichnet. Damit lässt sich der Zustand eines idealen Gases in Abhängigkeit von Druck, Temperatur und Volumen wie folgt beschreiben:

\[p\cdot V=\frac m M \cdot R \cdot T\]

Formel 1-6: Allgemeine Zustandsgleichung für ideale Gase [5]

$p$ Druck [Pa]
$V$ Volumen [m3]
$m$ Masse [kg]
$M$ Molare Masse [kg kmol-1]
$R$ Allgemeine Gaskonstante [kJ kmol-1 K-1]
$T$ Absolute Temperatur [K]

Die Stoffmenge $\nu$ kann auch als Anzahl der Teilchen im Verhältnis zur Avogadro-Konstante angegeben werden.

\[p\cdot V=\frac N {N_A} \cdot R \cdot T = N \cdot k \cdot T \quad\mbox{mit } k=\frac R {N_A}\]

Formel 1-7: Zustandsgleichung für ideale Gase I

$N$ Teilchenanzahl    
$N_A$ Avogadro-Konstante = 6,022 · 1023 [mol-1]
$k$ Boltzmannkonstante = 1,381 · 10-23 [J K-1]

Dividiert man jetzt beide Seiten der Gleichung durch das Volumen, erhält man

\[p=n\cdot k\cdot T\]

Formel 1-8: Zustandsgleichung für ideale Gase II

$n$ Teilchenzahldichte [m-3]
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